พื้นที่ของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด

คำแนะนำ

ประการแรก ควรทำความเข้าใจว่าพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดนั้นมีรูปสามเหลี่ยมหลายรูปแทน ซึ่งพื้นที่ดังกล่าวสามารถพบได้โดยใช้สูตรต่างๆ ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ทราบ:

S = (a*h)/2 โดยที่ h คือความสูงลดลงไปทางด้าน a;

S = a*b*sinβ โดยที่ a, b คือด้านของสามเหลี่ยม และ β คือมุมระหว่างด้านเหล่านี้

S = (r*(a + b + c))/2 โดยที่ a, b, c คือด้านของรูปสามเหลี่ยม และ r คือรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมนี้

S = (a*b*c)/4*R โดยที่ R คือรัศมีของสามเหลี่ยมที่ล้อมรอบวงกลม

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (หากรูปสามเหลี่ยมมีมุมฉาก)

S = S = (a²*√3)/4 (หากสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันหมด)

อันที่จริงนี่เป็นเพียงสูตรพื้นฐานที่สุดที่รู้จักกันดีในการค้นหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

เมื่อคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดที่เป็นหน้าของปิรามิดโดยใช้สูตรข้างต้นแล้ว คุณสามารถเริ่มคำนวณพื้นที่ของปิรามิดนี้ได้ ทำได้ง่ายมาก: คุณต้องบวกพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดที่ประกอบเป็นพื้นผิวด้านข้างของปิรามิด สิ่งนี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตร:

Sp = ΣSi โดยที่ Sp คือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง Si คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม i-th ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิวด้านข้าง

เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น เราสามารถพิจารณาตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ได้ เมื่อพิจารณาจากปิรามิดปกติ ใบหน้าด้านข้างประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่า และที่ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ความยาวของขอบของปิรามิดนี้คือ 17 ซม. จำเป็นต้องค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้

วิธีแก้ปัญหา: ทราบความยาวของขอบของปิรามิดนี้ เป็นที่รู้กันว่าใบหน้าของมันคือสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่าทุกด้านของสามเหลี่ยมทั้งหมดบนพื้นผิวด้านข้างมีค่าเท่ากับ 17 ซม. ดังนั้น ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ เหล่านี้ คุณจะต้องใช้สูตร:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 ซม.²

เป็นที่ทราบกันว่าที่ฐานของปิรามิดนั้นมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ ดังนั้นจึงชัดเจนว่ามีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่กำหนดมาให้สี่รูป จากนั้นคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดดังนี้:

125.137 ตร.ซม. * 4 = 500.548 ตร.ซม

คำตอบ: พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือ 500.548 ตารางเซนติเมตร

ขั้นแรก เรามาคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดกันก่อน พื้นผิวด้านข้างคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด หากคุณกำลังเผชิญกับปิรามิดปกติ (นั่นคือปิรามิดที่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานและจุดยอดถูกฉายไปที่กึ่งกลางของรูปหลายเหลี่ยมนี้) จากนั้นในการคำนวณพื้นผิวด้านข้างทั้งหมด ก็เพียงพอที่จะคูณเส้นรอบวงของ ฐาน (นั่นคือ ผลรวมของความยาวของทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่ที่ฐานพีระมิด) ด้วยความสูงของหน้าด้านข้าง (หรือเรียกอีกอย่างว่าเส้นตั้งฉากในกึ่งกลาง) และหารค่าผลลัพธ์ด้วย 2: Sb = 1/2P* h โดยที่ Sb คือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง P คือเส้นรอบวงของฐาน h คือความสูงของใบหน้าด้านข้าง (apothem)

หากคุณมีปิรามิดใดๆ อยู่ตรงหน้า คุณจะต้องคำนวณพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมดแยกกัน แล้วจึงบวกเข้าด้วยกัน เนื่องจากด้านข้างของพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยม ให้ใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม: S=1/2b*h โดยที่ b คือฐานของสามเหลี่ยม และ h คือความสูง เมื่อคำนวณพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมดแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือบวกเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด

จากนั้นคุณต้องคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิด การเลือกสูตรในการคำนวณขึ้นอยู่กับว่ารูปหลายเหลี่ยมใดอยู่ที่ฐานของปิรามิด: ปกติ (นั่นคือรูปหนึ่งที่มีความยาวเท่ากันทุกด้าน) หรือไม่สม่ำเสมอ พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติสามารถคำนวณได้โดยการคูณเส้นรอบวงด้วยรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมแล้วหารค่าผลลัพธ์ด้วย 2: Sn = 1/2P*r โดยที่ Sn คือพื้นที่ของ รูปหลายเหลี่ยม P คือเส้นรอบวง และ r คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยม

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบขึ้นจากปิรามิดและมีหน้าตัดขนานกับฐาน การหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนั้นไม่ใช่เรื่องยากเลย ง่ายมาก: พื้นที่เท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานครึ่งหนึ่งคูณระยะแนบใน ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอน สมมติว่าเราได้รับปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ ความยาวของฐานคือ b = 5 ซม., c = 3 ซม. เส้นตั้งฉาก a = 4 ซม. หากต้องการหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคุณต้องหาเส้นรอบวงของฐานก่อน ในฐานขนาดใหญ่จะเท่ากับ p1=4b=4*5=20 ซม. ในฐานที่เล็กกว่าสูตรจะเป็นดังนี้: p2=4c=4*3=12 ซม. ดังนั้น พื้นที่จะเท่ากับ : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 ซม.

ปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยม โดยใบหน้าหนึ่ง (ฐาน) เป็นรูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ และใบหน้าที่เหลือ (ด้านข้าง) เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม ตามจำนวนมุม ฐานของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยม (จัตุรมุข) รูปสี่เหลี่ยม และอื่นๆ

ปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม เส้นกึ่งกลางของพีระมิดคือความสูงของด้านข้างของพีระมิดปกติซึ่งลากมาจากจุดยอด

เราเรียกตัวเลขใดว่าปิรามิด? ประการแรก มันคือรูปทรงหลายเหลี่ยม ประการที่สอง ที่ฐานของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มีรูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ และด้านข้างของปิรามิด (ใบหน้าด้านข้าง) จำเป็นต้องมีรูปสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดยอดร่วมจุดเดียว เมื่อเข้าใจคำศัพท์แล้ว เรามาดูวิธีหาพื้นที่ผิวของปิรามิดกันดีกว่า

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ผิวของตัวเรขาคณิตนั้นประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของฐานและพื้นผิวด้านข้างทั้งหมด

การคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิด

การเลือกสูตรการคำนวณขึ้นอยู่กับรูปร่างของรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ใต้ปิรามิดของเรา อาจเป็นแบบสม่ำเสมอ กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันหรือไม่สม่ำเสมอก็ได้ ลองพิจารณาทั้งสองตัวเลือก

ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

จากหลักสูตรของโรงเรียนเรารู้:

• พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเท่ากับความยาวของด้านกำลังสอง
• พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากับกำลังสองของด้านหารด้วย 4 และคูณด้วยรากที่สองของสาม

แต่ยังมีสูตรทั่วไปในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ (Sn): คุณต้องคูณเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมนี้ (P) ด้วยรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในนั้น (r) แล้วหาร ผลลัพธ์สอง: Sn=1/2P*r

ที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติ

รูปแบบการหาพื้นที่คือการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดออกเป็นรูปสามเหลี่ยมก่อน แล้วคำนวณพื้นที่ของแต่ละรูปโดยใช้สูตร: 1/2a*h (โดยที่ a คือฐานของรูปสามเหลี่ยม h คือความสูงลดลงเหลือ ฐานนี้) รวมผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกัน

พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด

ทีนี้ลองคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดนั่นคือ ผลรวมของพื้นที่ด้านข้างทั้งหมด นอกจากนี้ยังมี 2 ตัวเลือกที่นี่

1. ขอให้เรามีปิรามิดตามอำเภอใจเช่น อันหนึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติอยู่ที่ฐาน จากนั้นคุณควรคำนวณพื้นที่ของแต่ละใบหน้าแยกกันและเพิ่มผลลัพธ์ เนื่องจากด้านข้างของปิรามิดตามคำนิยามแล้ว สามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมได้เท่านั้น การคำนวณจึงดำเนินการโดยใช้สูตรข้างต้น: S=1/2a*h
2. ให้ปิรามิดของเราถูกต้องนั่นคือ ที่ฐานของมันคือรูปหลายเหลี่ยมปกติ และเส้นโครงด้านบนของปิรามิดอยู่ตรงกลาง จากนั้น ในการคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง (Sb) ก็เพียงพอที่จะหาผลคูณของเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมฐาน (P) และความสูง (h) ของด้านข้าง (เท่ากัน) ครึ่งหนึ่ง (เท่ากันสำหรับทุกใบหน้า) ): Sb = 1/2 P*h เส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมถูกกำหนดโดยการบวกความยาวของด้านทั้งหมด

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดปกตินั้นหาได้จากการรวมพื้นที่ฐานกับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างทั้งหมด

ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณพื้นที่ผิวของปิรามิดหลายๆ อันโดยใช้พีชคณิตกัน

พื้นที่ผิวของปิรามิดสามเหลี่ยม

ที่ฐานของปิรามิดนั้นมีรูปสามเหลี่ยม โดยใช้สูตร So=1/2a*h เราจะหาพื้นที่ของฐาน เราใช้สูตรเดียวกันในการหาพื้นที่ของแต่ละหน้าของปิรามิดซึ่งมีรูปทรงสามเหลี่ยมด้วย และเราจะได้ 3 พื้นที่ คือ S1, S2 และ S3 พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือผลรวมของพื้นที่ทั้งหมด: Sb = S1+ S2+ S3 เมื่อรวมพื้นที่ด้านข้างและฐานเข้าด้วยกัน เราจะได้พื้นที่ผิวรวมของปิรามิดที่ต้องการ: Sp= So+ Sb

พื้นที่ผิวของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม

พื้นที่ผิวด้านข้างคือผลรวมของ 4 เทอม: Sb = S1+ S2+ S3+ S4 ซึ่งแต่ละเทอมคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม และจะต้องมองหาพื้นที่ของฐานขึ้นอยู่กับรูปร่างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - ปกติหรือไม่สม่ำเสมอ ได้รับพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดอีกครั้งโดยการเพิ่มพื้นที่ของฐานและพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดที่กำหนด

พื้นที่ทั้งหมดของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง

ในปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม มีใบหน้าสองประเภท ได้แก่ รูปสี่เหลี่ยมที่ฐาน และรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมซึ่งก่อตัวเป็นพื้นผิวด้านข้าง
ก่อนอื่นคุณต้องคำนวณพื้นที่ของใบหน้าด้านข้าง ในการทำเช่นนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมหรือคุณยังสามารถใช้สูตรสำหรับพื้นที่ผิวของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม (เฉพาะในกรณีที่รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นแบบปกติ) ถ้าปิรามิดเป็นแบบปกติและทราบความยาวของขอบ a ของฐานและระยะกึ่งกลางของฐาน h ที่วาดลงไป แล้ว:

หากตามเงื่อนไขที่กำหนดความยาวของขอบ c ของปิรามิดปกติและความยาวของด้านของฐาน a คุณสามารถค้นหาค่าโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

หากกำหนดความยาวของขอบที่ฐานและมุมแหลมที่อยู่ตรงข้ามที่ด้านบน พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างสามารถคำนวณได้โดยอัตราส่วนของกำลังสองของด้าน a ต่อโคไซน์สองเท่าของครึ่งหนึ่ง มุม α:

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมผ่านขอบด้านข้างและด้านข้างของฐาน

ปัญหา: ให้พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสธรรมดามา ความยาวขอบ b = 7 ซม. ความยาวด้านฐาน a = 4 ซม. แทนค่าที่กำหนดลงในสูตร:

เราแสดงการคำนวณพื้นที่หน้าด้านหนึ่งของปิรามิดปกติ ตามลำดับ ในการหาพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดคุณต้องคูณผลลัพธ์ด้วยจำนวนหน้าซึ่งก็คือ 4 หากปิรามิดเป็นแบบใดก็ได้และหน้าของมันไม่เท่ากันก็ต้องคำนวณพื้นที่ สำหรับแต่ละฝ่าย หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ควรจดจำคุณสมบัติของพวกมัน ด้านข้างของรูปเหล่านี้จะขนานกันเป็นคู่ ดังนั้นใบหน้าของปิรามิดก็จะเหมือนกันเป็นคู่ด้วย
สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมนั้นขึ้นอยู่กับว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านใดอยู่ที่ฐานโดยตรง หากปิรามิดถูกต้อง พื้นที่ของฐานจะคำนวณโดยใช้สูตร หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คุณจะต้องจำไว้ว่ามันตั้งอยู่อย่างไร หากมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ฐาน การหาพื้นที่จะค่อนข้างง่าย ก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านข้างของฐาน ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม

ปัญหา: ให้พีระมิดมา โดยที่ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีด้าน a = 3 ซม., b = 5 ซม. ระยะกึ่งกลางของพีระมิดลดลงจากด้านบนของปิรามิดไปในแต่ละด้าน h-a =4 ซม., h-b =6 ซม. ด้านบนของปิรามิดอยู่ในเส้นเดียวกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม หาพื้นที่ทั้งหมดของปิรามิด
สูตรหาพื้นที่ของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของทุกหน้าและพื้นที่ฐาน ก่อนอื่น มาหาพื้นที่ฐานกันก่อน:


ทีนี้มาดูด้านข้างของปิรามิดกัน พวกมันเหมือนกันเป็นคู่ เพราะความสูงของปิรามิดตัดกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม นั่นคือ ในปิรามิดของเรา มีสามเหลี่ยมสองรูปที่มีฐาน a และความสูง h-a เช่นเดียวกับสามเหลี่ยมอีกสองรูปที่มีฐาน b และความสูง h-b ตอนนี้เรามาหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี:


ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม ในปิระมิดของเราซึ่งมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ที่ฐาน สูตรจะมีลักษณะดังนี้: