चौकोनी पिरॅमिडचे क्षेत्रफळ. पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ

सूचना

सर्व प्रथम, हे समजून घेण्यासारखे आहे की पिरॅमिडची बाजूकडील पृष्ठभाग अनेक त्रिकोणांद्वारे दर्शविली जाते, ज्याचे क्षेत्र ज्ञात डेटावर अवलंबून, विविध सूत्रांचा वापर करून शोधले जाऊ शकतात:

S = (a*h)/2, जेथे h ही उंची a कडे कमी केली जाते;

S = a*b*sinβ, जेथे a, b या त्रिकोणाच्या बाजू आहेत आणि β हा या बाजूंमधील कोन आहे;

S = (r*(a + b + c))/2, जेथे a, b, c या त्रिकोणाच्या बाजू आहेत आणि r ही या त्रिकोणामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या आहे;

S = (a*b*c)/4*R, जेथे R ही वर्तुळाभोवती परिक्रमा केलेल्या त्रिकोणाची त्रिज्या आहे;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (जर त्रिकोण काटकोन असेल);

S = S = (a²*√3)/4 (त्रिकोण समभुज असल्यास).

खरं तर, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी ही केवळ सर्वात मूलभूत ज्ञात सूत्रे आहेत.

वरील सूत्रांचा वापर करून पिरॅमिडचे चेहरे असलेल्या सर्व त्रिकोणांच्या क्षेत्रांची गणना केल्यावर, तुम्ही या पिरॅमिडचे क्षेत्रफळ काढण्यास सुरुवात करू शकता. हे अत्यंत सोप्या पद्धतीने केले जाते: आपल्याला पिरॅमिडच्या बाजूच्या पृष्ठभागावर तयार होणाऱ्या सर्व त्रिकोणांचे क्षेत्र जोडणे आवश्यक आहे. हे सूत्राद्वारे व्यक्त केले जाऊ शकते:

Sp = ΣSi, जेथे Sp हे पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आहे, Si हे i-th त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे, जो त्याच्या पार्श्व पृष्ठभागाचा भाग आहे.

अधिक स्पष्टतेसाठी, आपण एका लहान उदाहरणाचा विचार करू शकतो: एक नियमित पिरॅमिड दिलेला आहे, ज्याचे बाजूचे चेहरे समभुज त्रिकोणांनी बनलेले आहेत आणि त्याच्या पायावर एक चौरस आहे. या पिरॅमिडच्या काठाची लांबी 17 सेमी आहे. या पिरॅमिडच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधणे आवश्यक आहे.

उपाय: या पिरॅमिडच्या काठाची लांबी ज्ञात आहे, हे ज्ञात आहे की त्याचे चेहरे समभुज त्रिकोण आहेत. अशा प्रकारे, आपण असे म्हणू शकतो की पार्श्व पृष्ठभागावरील सर्व त्रिकोणांच्या सर्व बाजू 17 सेमीच्या समान आहेत. म्हणून, यापैकी कोणत्याही त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी, आपल्याला सूत्र लागू करणे आवश्यक आहे:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 सेमी²

हे ज्ञात आहे की पिरॅमिडच्या पायथ्याशी एक चौरस आहे. अशा प्रकारे, हे स्पष्ट होते की चार समभुज त्रिकोण आहेत. नंतर पिरॅमिडच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे मोजले जाते:

125.137 cm² * 4 = 500.548 cm²

उत्तर: पिरॅमिडचे पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 500.548 cm² आहे

प्रथम, पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करूया. पार्श्व पृष्ठभाग ही सर्व बाजूकडील चेहऱ्यांच्या क्षेत्रांची बेरीज आहे. जर तुम्ही नियमित पिरॅमिडशी व्यवहार करत असाल (म्हणजेच, ज्याच्या पायथ्याशी एक नियमित बहुभुज आहे, आणि शिरोबिंदू या बहुभुजाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला आहे), तर संपूर्ण पार्श्व पृष्ठभागाची गणना करण्यासाठी परिमिती गुणाकार करणे पुरेसे आहे. पाया (म्हणजे, बेस पिरॅमिडवर असलेल्या बहुभुजाच्या सर्व बाजूंच्या लांबीची बेरीज) बाजूच्या चेहऱ्याच्या उंचीने (अन्यथा अपोथेम म्हणतात) आणि परिणामी मूल्य 2 ने विभाजित करा: Sb = 1/2P* h, जेथे Sb हे बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आहे, P हा पायाचा परिमिती आहे, h ही बाजूच्या मुखाची उंची आहे (अपोथेम).

तुमच्या समोर एक अनियंत्रित पिरॅमिड असल्यास, तुम्हाला सर्व चेहऱ्यांचे क्षेत्र स्वतंत्रपणे मोजावे लागेल आणि नंतर त्यांना जोडावे लागेल. पिरॅमिडचे बाजूचे चेहरे त्रिकोण असल्याने, त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळासाठी सूत्र वापरा: S=1/2b*h, जेथे b हा त्रिकोणाचा पाया आहे आणि h ही उंची आहे. जेव्हा सर्व चेहऱ्यांचे क्षेत्रफळ मोजले जातात, तेव्हा पिरॅमिडच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मिळविण्यासाठी त्यांना जोडणे बाकी आहे.

मग आपल्याला पिरॅमिडच्या पायाच्या क्षेत्राची गणना करणे आवश्यक आहे. गणनासाठी सूत्राची निवड पिरॅमिडच्या पायथ्याशी कोणता बहुभुज आहे यावर अवलंबून असते: नियमित (म्हणजे, समान लांबीच्या सर्व बाजूंनी एक) किंवा अनियमित. बहुभुजातील कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याने परिमितीचा गुणाकार करून आणि परिणामी मूल्याला 2: Sn = 1/2P*r ने भागून नियमित बहुभुजाचे क्षेत्रफळ काढले जाऊ शकते, जेथे Sn चे क्षेत्रफळ आहे बहुभुज, P परिमिती आहे आणि r ही बहुभुजातील अंकित वर्तुळाची त्रिज्या आहे.

कापलेला पिरॅमिड हा एक पॉलीहेड्रॉन आहे जो पिरॅमिडने बनलेला असतो आणि त्याचा क्रॉस सेक्शन पायाशी समांतर असतो. पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधणे अजिबात अवघड नाही. हे अगदी सोपे आहे: क्षेत्रफळ apothem द्वारे बेसच्या अर्ध्या बेरीजच्या गुणाकाराच्या समान आहे. कापलेल्या पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्याच्या उदाहरणाचा विचार करूया. समजा आपल्याला नियमित चतुर्भुज पिरॅमिड दिला आहे. बेसची लांबी b = 5 सेमी, c = 3 सेमी आहे. एपोथेम a = 4 सेमी. पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्हाला प्रथम तळांची परिमिती शोधणे आवश्यक आहे. मोठ्या बेसमध्ये ते p1=4b=4*5=20 सेमी इतके असेल. लहान बेसमध्ये सूत्र खालीलप्रमाणे असेल: p2=4c=4*3=12 सेमी. म्हणून, क्षेत्रफळ समान असेल : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 सेमी.

पिरॅमिड एक पॉलिहेड्रॉन आहे, ज्याचा एक चेहरा (आधार) एक अनियंत्रित बहुभुज आहे, आणि उर्वरित चेहरे (बाजू) त्रिकोण आहेत ज्यात एक समान शिरोबिंदू आहे. कोनांच्या संख्येनुसार, पिरॅमिडचा पाया त्रिकोणी (टेट्राहेड्रॉन), चतुर्भुज इ.

पिरॅमिड हा बहुभुजाच्या रूपात बेस असलेला एक पॉलिहेड्रॉन आहे आणि उर्वरित चेहरे सामान्य शिरोबिंदू असलेले त्रिकोण आहेत. एपोथेम म्हणजे नियमित पिरॅमिडच्या बाजूच्या चेहऱ्याची उंची, जी त्याच्या शिरोबिंदूपासून काढली जाते.

आपण कोणत्या आकृतीला पिरॅमिड म्हणतो? प्रथम, ते एक पॉलिहेड्रॉन आहे. दुसरे म्हणजे, या पॉलिहेड्रॉनच्या पायथ्याशी एक अनियंत्रित बहुभुज आहे आणि पिरॅमिडच्या बाजूंना (बाजूचे चेहरे) एका सामान्य शिरोबिंदूवर एकत्रितपणे त्रिकोणाचा आकार असणे आवश्यक आहे. आता, संज्ञा समजल्यानंतर, पिरॅमिडच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे ते शोधूया.

हे स्पष्ट आहे की अशा भौमितिक शरीराच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ बेस आणि त्याच्या संपूर्ण पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रांच्या बेरजेने बनलेले असते.

पिरॅमिडच्या पायाचे क्षेत्रफळ मोजत आहे

गणना सूत्राची निवड आपल्या पिरॅमिडच्या अंतर्गत असलेल्या बहुभुजाच्या आकारावर अवलंबून असते. हे नियमित असू शकते, म्हणजे, समान लांबीच्या बाजूंनी, किंवा अनियमित. चला दोन्ही पर्यायांचा विचार करूया.

आधार हा नियमित बहुभुज आहे

शाळेच्या अभ्यासक्रमावरून आम्हाला माहित आहे:

• चौरसाचे क्षेत्रफळ त्याच्या बाजूच्या चौरसाच्या लांबीइतके असेल;
• समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच्या बाजूच्या चौरसाला 4 ने भागले जाते आणि तीनच्या वर्गमूळाने गुणले जाते.

परंतु कोणत्याही नियमित बहुभुज (Sn) चे क्षेत्रफळ मोजण्यासाठी एक सामान्य सूत्र देखील आहे: आपल्याला या बहुभुज (P) च्या परिमितीमध्ये कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याने गुणाकार करणे आवश्यक आहे (r), आणि नंतर भागाकार करा. दोन द्वारे परिणाम: Sn=1/2P*r .

पायथ्याशी एक अनियमित बहुभुज आहे

त्याचे क्षेत्रफळ शोधण्याची योजना म्हणजे प्रथम संपूर्ण बहुभुज त्रिकोणांमध्ये विभागणे, त्यातील प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ हे सूत्र वापरून काढणे: 1/2a*h (जेथे a हा त्रिकोणाचा पाया आहे, h ही उंची कमी केली आहे. हा आधार), सर्व परिणाम जोडा.

पिरॅमिडचे पार्श्व पृष्ठभाग क्षेत्र

आता पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करूया, म्हणजे त्याच्या सर्व पार्श्व बाजूंच्या क्षेत्रांची बेरीज. येथे 2 पर्याय देखील आहेत.

1. आम्हाला एक अनियंत्रित पिरॅमिड द्या, म्हणजे. एक ज्याच्या पायथ्याशी अनियमित बहुभुज आहे. मग आपण प्रत्येक चेहर्याचे क्षेत्र स्वतंत्रपणे मोजले पाहिजे आणि परिणाम जोडा. पिरॅमिडच्या बाजू, व्याख्येनुसार, केवळ त्रिकोण असू शकतात, वरील-उल्लेखित सूत्र वापरून गणना केली जाते: S=1/2a*h.
2. आमचे पिरॅमिड योग्य असू द्या, म्हणजे. त्याच्या पायथ्याशी एक नियमित बहुभुज आहे आणि पिरॅमिडच्या शीर्षस्थानाचा प्रक्षेपण त्याच्या मध्यभागी आहे. नंतर, पार्श्व पृष्ठभागाच्या (Sb) क्षेत्रफळाची गणना करण्यासाठी, मूळ बहुभुज (P) च्या परिमितीच्या अर्ध्या गुणाकार आणि पार्श्व बाजूची उंची (h) शोधणे पुरेसे आहे (सर्व चेहऱ्यांसाठी समान). ): Sb = 1/2 P*h. बहुभुजाची परिमिती त्याच्या सर्व बाजूंच्या लांबी जोडून निर्धारित केली जाते.

नियमित पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ त्याच्या पायाचे क्षेत्रफळ संपूर्ण पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाच्या क्षेत्रासह एकत्रित करून आढळते.

उदाहरणे

उदाहरणार्थ, अनेक पिरॅमिडच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रांची बीजगणितीय गणना करूया.

त्रिकोणी पिरॅमिडचे पृष्ठभाग क्षेत्र

अशा पिरॅमिडच्या पायथ्याशी एक त्रिकोण आहे. So=1/2a*h सूत्र वापरून आपण पायाचे क्षेत्रफळ शोधतो. आम्ही पिरॅमिडच्या प्रत्येक चेहऱ्याचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी समान सूत्र वापरतो, ज्याचा त्रिकोणी आकार देखील असतो आणि आम्हाला 3 क्षेत्रे मिळतात: S1, S2 आणि S3. पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ सर्व क्षेत्रांची बेरीज आहे: Sb = S1 + S2 + S3. बाजू आणि पायाचे क्षेत्र जोडून, ​​आम्ही इच्छित पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र प्राप्त करतो: Sp= So+ Sb.

चौकोनी पिरॅमिडचे पृष्ठभाग क्षेत्र

पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 4 पदांची बेरीज आहे: Sb = S1 + S2 + S3 + S4, यापैकी प्रत्येकाची गणना त्रिकोणाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र वापरून केली जाते. आणि बेसचे क्षेत्रफळ शोधावे लागेल, चतुर्भुज आकारानुसार - नियमित किंवा अनियमित. बेसचे क्षेत्रफळ आणि दिलेल्या पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ जोडून पिरॅमिडचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ पुन्हा मिळवले जाते.

पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या एकूण क्षेत्रफळात त्याच्या बाजूकडील चेहऱ्यांच्या क्षेत्रांची बेरीज असते.

चतुर्भुज पिरॅमिडमध्ये, दोन प्रकारचे चेहरे असतात - पायावर एक चतुर्भुज आणि सामान्य शिरोबिंदू असलेले त्रिकोण, जे बाजूची पृष्ठभाग बनवतात.
प्रथम आपल्याला बाजूच्या चेहर्याचे क्षेत्रफळ मोजण्याची आवश्यकता आहे. हे करण्यासाठी, तुम्ही त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळासाठी सूत्र वापरू शकता किंवा चतुर्भुज पिरॅमिडच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र देखील वापरू शकता (फक्त पॉलीहेड्रॉन नियमित असल्यास). जर पिरॅमिड नियमित असेल आणि पायाच्या काठाची a आणि त्यावर काढलेल्या एपोथेम h ची लांबी माहित असेल तर:

जर, परिस्थितीनुसार, नियमित पिरॅमिडच्या कडा c ची लांबी आणि बेस a च्या बाजूची लांबी दिली असेल, तर तुम्ही खालील सूत्र वापरून मूल्य शोधू शकता:

जर पायथ्याशी असलेल्या काठाची लांबी आणि वरच्या बाजूस त्याच्या विरुद्ध तीव्र कोन दिलेला असेल तर बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ अर्ध्या भागाच्या दुहेरी कोसाइनच्या बाजूच्या चौरसाच्या गुणोत्तराने काढले जाऊ शकते. कोन α:

बाजूच्या काठावरून आणि पायाच्या बाजूने चौकोनी पिरॅमिडच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्याच्या उदाहरणाचा विचार करूया.

समस्या: नियमित चतुर्भुज पिरॅमिड द्या. काठाची लांबी b = 7 सेमी, पायाभूत बाजूची लांबी a = 4 सेमी. दिलेल्या मूल्यांना सूत्रामध्ये बदला:

आम्ही नियमित पिरॅमिडसाठी एका बाजूच्या चेहऱ्याच्या क्षेत्राची गणना दर्शविली. अनुक्रमे. संपूर्ण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्हाला परिणाम चेहऱ्यांच्या संख्येने, म्हणजे 4 ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. जर पिरॅमिड अनियंत्रित असेल आणि त्याचे चेहरे एकमेकांशी समान नसतील, तर क्षेत्रफळ मोजणे आवश्यक आहे. प्रत्येक वैयक्तिक बाजूसाठी. जर आधार आयत किंवा समांतरभुज चौकोन असेल तर त्यांचे गुणधर्म लक्षात ठेवण्यासारखे आहे. या आकृत्यांच्या बाजू जोड्यांमध्ये समांतर आहेत आणि त्यानुसार पिरॅमिडचे चेहरे देखील जोड्यांमध्ये एकसारखे असतील.
चौकोनी पिरॅमिडच्या पायाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र थेट पायावर कोणत्या चौकोनावर आहे यावर अवलंबून असते. जर पिरॅमिड बरोबर असेल, तर बेसचे क्षेत्रफळ सूत्र वापरून मोजले जाते, जर बेस समभुज चौकोन असेल तर तुम्हाला ते कसे स्थित आहे हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे. जर पायथ्याशी आयत असेल तर त्याचे क्षेत्रफळ शोधणे अगदी सोपे होईल. बेसच्या बाजूंची लांबी जाणून घेणे पुरेसे आहे. चौकोनी पिरॅमिडच्या पायाचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे उदाहरण पाहू.

समस्या: एक पिरॅमिड देऊ या, ज्याच्या पायथ्याशी a = 3 सेमी, b = 5 सेमी बाजू असलेला आयत आहे. पिरॅमिडच्या शीर्षस्थानापासून प्रत्येक बाजूपर्यंत एक एपोथेम खाली केला आहे. h-a =4 cm, h-b =6 cm. पिरॅमिडचा वरचा भाग कर्णांच्या छेदनबिंदूच्या समान रेषेवर असतो. पिरॅमिडचे एकूण क्षेत्रफळ शोधा.
चौकोनी पिरॅमिडच्या क्षेत्रफळाच्या सूत्रामध्ये सर्व चेहऱ्यांचे क्षेत्रफळ आणि पायाचे क्षेत्रफळ यांचा समावेश होतो. प्रथम, बेसचे क्षेत्रफळ शोधूया:


आता पिरॅमिडच्या बाजू पाहू. ते जोड्यांमध्ये एकसारखे आहेत, कारण पिरॅमिडची उंची कर्णांच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूला छेदते. म्हणजेच, आमच्या पिरॅमिडमध्ये बेस a आणि h-a उंची असलेले दोन त्रिकोण आहेत, तसेच बेस b आणि h-b उंची असलेले दोन त्रिकोण आहेत. आता सुप्रसिद्ध सूत्र वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधूया:


आता चौकोनी पिरॅमिडचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे उदाहरण पाहू. पायथ्याशी आयत असलेल्या आमच्या पिरॅमिडमध्ये, सूत्र असे दिसेल: