مساحت یک هرم چهار گوش. مساحت کل هرم مساحت کل سطح هرم

دستورالعمل ها

اول از همه، شایان ذکر است که سطح جانبی هرم با چندین مثلث نشان داده می شود که بسته به داده های شناخته شده، می توان مناطق آن را با استفاده از فرمول های مختلف پیدا کرد:

S = (a*h)/2، که در آن h ارتفاع کاهش یافته به سمت a است.

S = a*b*sinβ، که در آن a، b اضلاع مثلث هستند و β زاویه بین این اضلاع است.

S = (r*(a + b + c))/2، که در آن a، b، c اضلاع مثلث هستند و r شعاع دایره محاط شده در این مثلث است.

S = (a*b*c)/4*R، که در آن R شعاع مثلثی است که دور دایره محصور شده است.

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (اگر مثلث قائم الزاویه باشد).

S = S = (a²*√3)/4 (اگر مثلث متساوی الاضلاع باشد).

در واقع، اینها تنها اساسی ترین فرمول های شناخته شده برای یافتن مساحت یک مثلث هستند.

با محاسبه مساحت تمام مثلث هایی که وجه های هرم هستند با استفاده از فرمول های بالا، می توانید شروع به محاسبه مساحت این هرم کنید. این کار بسیار ساده انجام می شود: شما باید نواحی تمام مثلث هایی را که سطح جانبی هرم را تشکیل می دهند جمع کنید. این را می توان با فرمول بیان کرد:

Sp = ΣSi، جایی که Sp مساحت سطح جانبی است، Si مساحت مثلث i ام است که بخشی از سطح جانبی آن است.

برای وضوح بیشتر، می‌توانیم یک مثال کوچک در نظر بگیریم: یک هرم منظم که وجه‌های جانبی آن توسط مثلث‌های متساوی الاضلاع تشکیل شده‌اند و در قاعده آن یک مربع قرار دارد. طول لبه این هرم 17 سانتی متر است که برای یافتن مساحت سطح جانبی این هرم لازم است.

راه حل: طول لبه این هرم مشخص است، معلوم است که وجوه آن مثلث متساوی الاضلاع است. بنابراین، می توان گفت که تمام اضلاع همه مثلث ها در سطح جانبی برابر با 17 سانتی متر است، بنابراین، برای محاسبه مساحت هر یک از این مثلث ها، باید از فرمول استفاده کنید:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 سانتی متر مربع

مشخص است که در قاعده هرم یک مربع قرار دارد. بنابراین، واضح است که چهار مثلث متساوی الاضلاع وجود دارد. سپس مساحت سطح جانبی هرم به صورت زیر محاسبه می شود:

125.137 سانتی متر مربع * 4 = 500.548 سانتی متر مربع

پاسخ: سطح جانبی هرم 500.548 سانتی متر مربع است

ابتدا مساحت سطح جانبی هرم را محاسبه می کنیم. سطح جانبی مجموع مساحت تمام وجوه جانبی است. اگر با یک هرم منتظم سر و کار دارید (یعنی هرمی که یک چند ضلعی منتظم در قاعده خود دارد و راس آن به مرکز این چند ضلعی برآمده است)، برای محاسبه کل سطح جانبی کافی است محیط آن را ضرب کنید. قاعده (یعنی مجموع طول تمام ضلع های چند ضلعی که در هرم قاعده قرار دارد) بر ارتفاع وجه جانبی (در غیر این صورت آپوتم نامیده می شود) و مقدار حاصل را بر 2 تقسیم کنید: Sb = 1/2P* h، جایی که Sb مساحت سطح جانبی است، P محیط پایه، h ارتفاع وجه جانبی (آپوتم) است.

اگر یک هرم دلخواه در مقابل خود دارید، باید مساحت تمام صورت ها را جداگانه محاسبه کنید و سپس آنها را جمع کنید. از آنجایی که وجوه جانبی هرم مثلث است، از فرمول مساحت مثلث استفاده کنید: S=1/2b*h که b قاعده مثلث و h ارتفاع آن است. وقتی مساحت تمام وجوه محاسبه شد، تنها چیزی که باقی می ماند جمع کردن آنهاست تا مساحت سطح جانبی هرم به دست آید.

سپس باید مساحت پایه هرم را محاسبه کنید. انتخاب فرمول برای محاسبه بستگی به این دارد که کدام چند ضلعی در قاعده هرم قرار دارد: منظم (یعنی یکی با تمام ضلع های یکسان) یا نامنظم. مساحت یک چند ضلعی منظم را می توان با ضرب محیط در شعاع دایره محاطی شده در چند ضلعی و تقسیم مقدار حاصل بر 2 محاسبه کرد: Sn = 1/2P*r، جایی که Sn مساحت چند ضلعی، P محیط، و r شعاع دایره محاطی در چند ضلعی است.

هرم بریده به چند وجهی گفته می شود که توسط یک هرم و مقطع آن موازی با قاعده تشکیل شده است. یافتن سطح جانبی هرم به هیچ وجه دشوار نیست. این بسیار ساده است: مساحت برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع پایه ها توسط آپوتم. بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی یک هرم کوتاه را در نظر بگیریم. فرض کنید به ما یک هرم چهار گوش منظم داده شده است. طول پایه b = 5 سانتی متر، c = 3 سانتی متر است، آپوتم a = 4 سانتی متر است، برای پیدا کردن مساحت سطح جانبی هرم، ابتدا باید محیط پایه ها را پیدا کنید. در پایه بزرگ برابر با p1=4b=4*5=20 سانتی متر خواهد بود و در پایه کوچکتر فرمول به صورت زیر خواهد بود: p2=4c=4*3=12 سانتی متر بنابراین مساحت برابر با : s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 سانتی متر.

هرم چند ضلعی است که یکی از وجوه (پایه) آن چند ضلعی دلخواه است و وجوه (اضلاع) باقیمانده مثلث هایی هستند که یک راس مشترک دارند. با توجه به تعداد زوایا، قاعده هرم مثلثی (چهار ضلعی)، چهار گوش و غیره است.

هرم چند وجهی است که قاعده ای به شکل چند ضلعی دارد و وجوه باقیمانده مثلث هایی با راس مشترک هستند. آپوتم ارتفاع وجه جانبی یک هرم منظم است که از راس آن کشیده شده است.

به چه شکلی هرم می گوییم؟ اولاً این یک چند وجهی است. ثانیاً، در پایه این چند وجهی یک چندضلعی دلخواه وجود دارد و اضلاع هرم (وجه های جانبی) لزوماً شکل مثلث هایی دارند که در یک راس مشترک همگرا می شوند. اکنون، با درک این اصطلاح، بیایید دریابیم که چگونه مساحت سطح هرم را پیدا کنیم.

واضح است که مساحت سطح چنین جسم هندسی از مجموع مساحت قاعده و کل سطح جانبی آن تشکیل شده است.

محاسبه مساحت قاعده هرم

انتخاب فرمول محاسبه به شکل چند ضلعی زیر هرم ما بستگی دارد. این می تواند منظم باشد، یعنی با اضلاع با طول یکسان یا نامنظم. بیایید هر دو گزینه را در نظر بگیریم.

پایه یک چند ضلعی منظم است

از دوره مدرسه می دانیم:

• مساحت مربع برابر با طول مربع ضلع آن خواهد بود.
• مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع برابر است با مربع ضلع آن تقسیم بر 4 و ضرب در جذر سه.

اما یک فرمول کلی برای محاسبه مساحت هر چند ضلعی منظم (Sn) نیز وجود دارد: باید محیط این چند ضلعی (P) را در شعاع دایره ای که در آن حک شده است ضرب کنید (r) و سپس آن را تقسیم کنید. نتیجه دو: Sn=1/2P*r.

در پایه یک چند ضلعی نامنظم است

طرحی برای یافتن مساحت آن بدین صورت است که ابتدا کل چند ضلعی را به مثلث ها تقسیم می کنیم، مساحت هر یک از آنها را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم: 1/2a*h (که در آن a پایه مثلث است، h ارتفاع کاهش یافته به این پایه)، تمام نتایج را جمع کنید.

سطح جانبی هرم

حالا بیایید مساحت سطح جانبی هرم را محاسبه کنیم، یعنی. مجموع مساحت تمام اضلاع جانبی آن. همچنین 2 گزینه در اینجا وجود دارد.

1. بگذارید یک هرم دلخواه داشته باشیم، یعنی. یکی با چند ضلعی نامنظم در قاعده خود. سپس باید مساحت هر صورت را جداگانه محاسبه کنید و نتایج را اضافه کنید. از آنجایی که اضلاع یک هرم، طبق تعریف، فقط می توانند مثلث باشند، محاسبه با استفاده از فرمول فوق انجام می شود: S=1/2a*h.
2. بگذارید هرم ما درست باشد، یعنی. در قاعده آن یک چندضلعی منتظم قرار دارد و برآمدگی بالای هرم در مرکز آن قرار دارد. سپس برای محاسبه مساحت سطح جانبی (Sb) کافی است نصف حاصلضرب محیط چندضلعی پایه (P) و ارتفاع (h) ضلع جانبی (برای همه وجوه یکسان است) ): Sb = 1/2 P*h. محیط یک چند ضلعی با جمع کردن طول همه اضلاع آن تعیین می شود.

مساحت کل یک هرم منظم با جمع مساحت قاعده آن با مساحت کل سطح جانبی بدست می آید.

مثال ها

به عنوان مثال، بیایید سطح چند هرم را به صورت جبری محاسبه کنیم.

سطح یک هرم مثلثی شکل

در قاعده چنین هرمی یک مثلث قرار دارد. با استفاده از فرمول So=1/2a*h مساحت پایه را پیدا می کنیم. از همین فرمول برای یافتن مساحت هر وجه هرم که شکل مثلثی هم دارد استفاده می کنیم و 3 ناحیه S1، S2 و S3 به دست می آوریم. مساحت سطح جانبی هرم حاصل مجموع همه مناطق است: Sb = S1 + S2 + S3. با جمع مساحت اضلاع و قاعده، کل سطح هرم مورد نظر را بدست می آوریم: Sp= So+ Sb.

سطح یک هرم چهار گوش

مساحت سطح جانبی از مجموع 4 عبارت است: Sb = S1 + S2 + S3 + S4 که هر کدام با استفاده از فرمول مساحت یک مثلث محاسبه می شود. و بسته به شکل چهارضلعی - منظم یا نامنظم، باید به دنبال ناحیه پایه باشید. مساحت کل هرم مجدداً با افزودن مساحت پایه و کل سطح هرم داده شده به دست می آید.

مساحت کل سطح جانبی هرم از مجموع مساحت وجوه جانبی آن تشکیل شده است.

در هرم چهار گوش، دو نوع صورت وجود دارد - یک چهارگوش در قاعده و مثلث هایی با یک راس مشترک، که سطح جانبی را تشکیل می دهند.
ابتدا باید مساحت صورت های جانبی را محاسبه کنید. برای این کار می توانید از فرمول مساحت یک مثلث یا فرمول سطح یک هرم چهار گوش (فقط در صورتی که چند وجهی منظم باشد) استفاده کنید. اگر هرم منظم باشد و طول یال a قاعده و آپوتم h کشیده شده به آن مشخص باشد، آنگاه:

اگر با توجه به شرایط، طول لبه c یک هرم منظم و طول ضلع قاعده a داده شود، می توانید مقدار را با استفاده از فرمول زیر پیدا کنید:

اگر طول لبه در قاعده و زاویه حاد مقابل آن در بالا داده شود، مساحت سطح جانبی را می توان با نسبت مربع ضلع a به کسینوس دوگانه نصف محاسبه کرد. زاویه α:

بیایید مثالی از محاسبه مساحت یک هرم چهار گوش از لبه جانبی و ضلع پایه را در نظر بگیریم.

مشکل: اجازه دهید یک هرم چهارگوش منظم داده شود. طول لبه b = 7 سانتی متر، طول ضلع پایه a = 4 سانتی متر. مقادیر داده شده را در فرمول جایگزین کنید:

ما محاسبات مساحت یک طرف صورت را برای یک هرم منظم نشان دادیم. به ترتیب. برای پیدا کردن مساحت کل سطح، باید نتیجه را در تعداد وجوه ضرب کنید، یعنی در 4. اگر هرم دلخواه است و وجه های آن با یکدیگر برابر نیستند، باید مساحت را محاسبه کرد. برای هر طرف جداگانه اگر پایه یک مستطیل یا متوازی الاضلاع باشد، ارزش آن را دارد که خواص آنها را به خاطر بسپارید. اضلاع این شکل ها به صورت جفت موازی هستند و بر این اساس وجه های هرم نیز به صورت جفت یکسان خواهند بود.
فرمول مساحت قاعده هرم چهار گوش به طور مستقیم به این بستگی دارد که کدام چهار ضلعی در پایه قرار دارد. اگر هرم درست باشد، مساحت پایه با استفاده از فرمول محاسبه می شود، اگر پایه یک لوزی است، باید به یاد داشته باشید که چگونه قرار دارد. اگر یک مستطیل در پایه وجود داشته باشد، پیدا کردن مساحت آن بسیار ساده خواهد بود. کافی است طول اضلاع پایه را بدانید. بیایید مثالی از محاسبه مساحت قاعده یک هرم چهار گوش را در نظر بگیریم.

مسئله: بگذارید یک هرم داده شود که در قاعده آن مستطیلی با اضلاع a = 3 سانتی متر، b = 5 سانتی متر قرار دارد. یک آپوتم از بالای هرم به هر یک از اضلاع پایین می آید. h-a = 4 سانتی متر، h-b = 6 سانتی متر بالای هرم روی همان خطی قرار دارد که نقطه تقاطع مورب ها قرار دارد. مساحت کل هرم را پیدا کنید.
فرمول مساحت یک هرم چهار گوش از مجموع مساحت تمام وجوه و مساحت قاعده تشکیل شده است. ابتدا بیایید مساحت پایه را پیدا کنیم:


حالا بیایید به طرفین هرم نگاه کنیم. آنها به صورت جفت یکسان هستند، زیرا ارتفاع هرم نقطه تقاطع مورب ها را قطع می کند. یعنی در هرم ما دو مثلث با قاعده a و ارتفاع h-a و همچنین دو مثلث با پایه b و ارتفاع h-b وجود دارد. حالا بیایید مساحت مثلث را با استفاده از فرمول معروف پیدا کنیم:


حالا بیایید مثالی از محاسبه مساحت یک هرم چهار گوش را انجام دهیم. در هرم ما با یک مستطیل در قاعده، فرمول به صورت زیر است: